การวิเคราะห์เชิงตัวเลข: จากสเกลาร์ไปยังเวกเตอร์: ความท้าทายของระบบเชิงเส้นไม่เป็นเชิงเส้น

การเปลี่ยนจากสมการเดียว $f(x)=0$ เป็นระบบหลายตัวแปรคือทางเข้าสู่การแก้ปัญหาด้านวิศวกรรมที่ซับซ้อน เช่น กลศาสตร์วงโคจร หรือการวิเคราะห์โครงสร้างดิน เราไม่ได้ค้นหาจุดศูนย์ที่ง่ายบนเส้นตรงอีกต่อไป แต่เราต้องการหาจุดตัดร่วมกันของ $n$ พื้นผิวไฮเปอร์ในพื้นที่ $n$ มิติ

1. โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นถูกแสดงเป็นชุดของสมการที่ฟังก์ชันประกอบแต่ละตัวขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ของตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่า $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$:

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

เราสามารถรวมสิ่งนี้เป็นรูปแบบเวกเตอร์ได้ คือ สมการหลัก:

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

โดยที่ $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$ ฟังก์ชันแต่ละตัว $f_i$ จะถูกกำหนดให้เป็น ฟังก์ชันพิกัด ของ $\mathbf{F}$

2. รากฐานทางวิเคราะห์และความต่อเนื่อง

เพื่อแก้ระบบเหล่านี้โดยวิธีเชิงตัวเลข เราต้องแน่ใจว่าการแปลงค่าเป็นไปอย่างราบรื่น นิยาม 10.1–10.3 ระบุว่า ขอบเขตและความต่อเนื่องใน $\mathbb{R}^n$ ถูกกำหนดโดย ตามองค์ประกอบแต่ละตัว.

นิยาม 10.3

ให้ $\mathbf{F}$ เป็นฟังก์ชันจาก $D \subset \mathbb{R}^n$ เข้าสู่ $\mathbb{R}^n$ เราจะกล่าวว่า $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ ก็ต่อเมื่อ:

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ สำหรับแต่ละ $i=1, \dots, n$.

ใช้การนิยาม $\epsilon-\delta$: สำหรับทุก $\epsilon > 0$ จะมี $\delta > 0$ ที่ทำให้ $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ เมื่อ $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$

จุดที่มักสับสน: ความเป็นอิสระจากมาตรฐาน

จุดสำคัญที่ต้องระวัง: แม้ว่าจะสามารถใช้มาตรฐานต่าง ๆ ($\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$) ได้ แต่ ความต่อเนื่องไม่ขึ้นกับการเลือกเฉพาะใด ๆความเป็นจริงของขอบเขตจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้มาตรฐานเวกเตอร์ใด ๆ ใน $\mathbb{R}^n$

3. ทบทวนแนวคิดทฤษฎี

ทฤษฎีบท 1.6: สำหรับฟังก์ชันที่มาจาก $\mathbb{R}$ ไปยัง $\mathbb{R}$ ความต่อเนื่องมักจะสามารถพิสูจน์ได้โดยการพิสูจน์ความต่างต่อเนื่อง ในกรณีหลายตัวแปร หากอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันพิกัดมีอยู่และถูกจำกัด ความต่อเนื่องจะมีอยู่แน่นอน ซึ่งเป็นเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับตัวแก้แบบวนซ้ำ

ตัวอย่างคลาสสิก: ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาปัญหาแผ่นกลมบนดิน จัดระบบเชิงเส้นไม่เป็นเชิงเส้นขนาด $3 \times 3$ ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:

$3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
$x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
$e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

ที่นี่ $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ และ $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$

คำถามที่ 1

จากฟังก์ชันเวกเตอร์ $\mathbf{F}(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 2x_3, x_1 \cos x_2, x_2^2 + x_3)^t$ ทำไม $\mathbf{F}$ จึงต่อเนื่องที่จุดใด ๆ ของ $\mathbb{R}^3$?

เพราะมันเป็นการแปลงเชิงเส้น และการแปลงเชิงเส้นทั้งหมดมีความต่อเนื่อง

เพราะฟังก์ชันพิกัด $f_i$ แต่ละตัวเป็นผลรวมหรือผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานที่ต่อเนื่อง (พหุนามและโคไซน์)

เพราะเมทริกซ์จาคอเบียนมีดีเทอร์มิแนนต์คงที่

เพราะมันแปลง $\mathbb{R}^3$ เข้าสู่ชุดย่อยที่ปิดและมีขอบเขตของ $\mathbb{R}^3$

คำถามที่ 2

ฟังก์ชันใดต่อไปนี้ของ $\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ต่อเนื่องทุกที่ยกเว้นที่ $(1, 0)$?

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (x_1 - 1, x_2)^2$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (\sin(x_1 - 1), \cos x_2)$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (1 / (x_1 - 1), x_2 / (x_1^2 + x_2^2))$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (e^{x^1}, e^{x^2})$

คำถามที่ 3

หากเราเปลี่ยนมาตรฐานเวกเตอร์จากมาตรฐานยูคลิด (ℓ₂) เป็นมาตรฐานสูงสุด (ℓ∞) เมื่อประเมินความต่อเนื่องของระบบเชิงเส้นไม่เป็นเชิงเส้น จะส่งผลต่อคุณสมบัติการเรียบตัวของลำดับเวกเตอร์อย่างไร?

ลำดับอาจเริ่มแยกจากกันเพราะมาตรฐานสูงสุดมีความไวต่ำกว่า

การเรียบตัวยังคงเหมือนเดิม เพราะมาตรฐานเวกเตอร์ทุกชนิดในพื้นที่มิติจำกัดมีความเท่าเทียมกัน

ค่าขอบเขต $L$ จะเปลี่ยนแปลงตามการปรับขนาดของมาตรฐาน

ลำดับจะเรียบตัวได้เร็วกว่าในมาตรฐาน ℓ₁ เมื่อเทียบกับมาตรฐาน ℓ₂

คำถามที่ 4

วิธีนิวตันมักใช้กับระบบเชิงเส้นไม่เป็นเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม หากนำไปใช้กับระบบเชิงเส้น $Ax = b$ (โดยที่ $A$ เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นศูนย์) ผลลัพธ์จะเป็นอะไร?

วิธีนี้ล้มเหลวเพราะจาคอเบียนไม่ถูกนิยามสำหรับระบบเชิงเส้น

วิธีนี้ลดลงเป็นการกำจัดกาอุสและต้องใช้ $n$ ขั้นตอน

วิธีนี้จะได้คำตอบที่ถูกต้องในขั้นตอนเดียวจากทุกค่าเริ่มต้นที่เลือก

วิธีนี้สั่นสะเทือนและไม่เคยเรียบตัว เว้นแต่ $x_0$ จะเป็น $b/n$

คำถามที่ 5

เมื่อกำหนดขอบเขตของ $F(x)$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $x_0$ ข้อจำกัด '0 < ‖x - x₀‖ < δ' หมายถึงอะไร?

เรากำลังประเมินฟังก์ชันที่จุด $x_0$ อย่างแท้จริง

เรากำลังพิจารณาพื้นที่ที่มีจุดหายไป ซึ่งหมายถึง $x_0$ ถูกตัดออกจากการคำนวณขอบเขต

ระยะทางจากจุดกำเนิดต้องน้อยกว่า $δ$

ระบบต้องเป็นเชิงเส้นเพื่อให้ขอบเขตมีอยู่

ความท้าทาย: ความเท่าเทียมของมาตรฐานและความต่อเนื่อง

การยืนยันเชิงวิเคราะห์

พิจารณาฟังก์ชัน $\mathbf{F}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ พิสูจน์ว่า $\mathbf{F}$ ต่อเนื่องที่ $\mathbf{x}_0$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก $\epsilon > 0$ จะมี $\delta > 0$ ที่ทำให้สำหรับ ทุก มาตรฐานเวกเตอร์ $\| \cdot \|$ แล้ว $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{x}_0)\| < \epsilon$ เมื่อ $\mathbf{x} \in D$ และ $\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$

งาน

อธิบายว่าทำไมการเลือกมาตรฐานไม่เปลี่ยนแปลงค่าความจริงของข้อความเกี่ยวกับความต่อเนื่อง

คำตอบ:
ใน $\mathbb{R}^n$ ทุกมาตรฐานมีความเท่าเทียมกัน สำหรับมาตรฐานใด ๆ $\| \cdot \|_a$ และ $\| \cdot \|_b$ จะมีค่าคงที่ $c, C > 0$ ที่ทำให้ $c\| \mathbf{x} \|_a \leq \| \mathbf{x} \|_b \leq C\| \mathbf{x} \|_a$

หาก $\mathbf{F}$ ต่อเนื่องภายใต้มาตรฐาน $a$ สำหรับทุก $\epsilon$ เราจะได้ $\delta_a$ โดยการใช้ค่าคงที่ $c$ และ $C$ เราสามารถหา $\delta_b$ ที่สอดคล้องกัน (เช่น $\delta_b = c \cdot \delta_a$) ที่ตอบโจทย์เงื่อนไข $\epsilon$-$\delta$ สำหรับมาตรฐาน $b$ ดังนั้นความต่อเนื่องจึงเป็นคุณสมบัติทางทอพอโลยีของพื้นที่ ไม่ใช่คุณสมบัติทางเรขาคณิตของไม้บรรทัดมาตรฐานเฉพาะใด ๆ